Propiedades de la multiplicación.

Las multiplicaciones tienen cuatro propiedades que describen su uso o funcionamiento y que resulta muy práctico conocerlas para comprender qué es una multiplicación y qué implican realmente. Son las siguientes:

1. La propiedad conmutativa: Pueden intercambiarse los factores (o los valores del multiplicando y el multiplicador) sin alterar su producto. Es decir, es indiferente multiplicar dos veces el número 6 que multiplicar seis veces el número 2.

6 x 2 ( 6 + 6 ) = 12

2 x 6 ( 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2) = 12

Esto se da porque, en cualquier caso, 12 es múltiplo de todos los números (o factores) anteriores.

2. La propiedad asociativa: Existe un nexo o conexión entre todos los factores de la multiplicación y el producto final, de tal forma que no sólo no se altera dicho producto cuando los intercambiamos (propiedad conmutativa) sino que, cuando se da el caso de que hay tres factores o más, al multiplicar el producto de dos de ellos, indistintamente de cuales sean, por el tercero, de nuevo vemos que no se altera el producto final:

6 x 2 x 4 = 48

6 x 2 = 12  y  12 x 4 = 48

2 x 4 = 8  y  8 x 6 = 48

6 x 4 = 24  y  24 x 2 = 48

3. Hay un elemento neutro: El 1 multiplicado por otro número, independientemente del factor que sea (propiedad conmutativa), devuelve el valor de ese número:

1 x 6 = 6

6 x 1 = 6

4. La propiedad distributiva: Cuando un número multiplica una suma o una resta, cabe la posibilidad de multiplicar cada uno de los factores de la suma o la resta; o bien, multiplicar directamente su producto sin que se altere su resultado.

( 7 – 5 ) 2 = 2 x 2 = 4

O bien:

( 7 x 2 ) – ( 5 x 2 ) = 4

En este segundo caso, el multiplicador (2) se distribuye o reparte entre los factores de la resta (o suma en su caso); de ahí el nombre de esta propiedad.

COMPRENDIENDO LAS MULTIPLICACIONES Y LAS DIVISIONES.

¿QÚE SON LAS MULTIPLICACIONES?

 Una multiplicación es la expresión de una suma en la que todos los sumandos tienen el mismo valor y se repiten un cierto número de veces.

Ejemplo:

En la siguiente suma, todos los sumandos tienen valor 2 y hay un total de 4: 

     

2 + 2 + 2 + 2 = 8

Y la expresión de la multiplicación sería la siguiente: 

2 x 4 = 8

Siendo los factores de esta multiplicación el 2 (multiplicando) y el 4 (multiplicador). Mientras que el 8 sería el producto de sumar cuatro veces dos.

Es necesario comprender correctamente la esencia de una multiplicación para familiarizarnos con su uso y saber en qué casos la utilizaremos. Para ello, hemos de tener en cuenta que tanto el multiplicando como el multiplicador son partes que constituyen “un todo”; que es lo que conocemos como producto de la multiplicación. Y el producto, a su vez, es aquello que trataremos de averiguar mediante una multiplicación.

Es decir, y esto es importante para comprender posteriormente qué es una división, al intentar resolver un problema en el que los datos que nos proporciona un enunciado son partes de “un todo” mayor y nos pregunte por ese todo, lo resolveremos con una multiplicación.

¿QUÉ SON LAS DIVISIONES?

Al contrario de las multiplicaciones, que son agrupaciones de los factores que las integran, las divisiones consisten en separar y repartir.  En el caso de las divisiones, ya conocemos el valor total o producto de la multiplicación (dividendo)  y uno de sus factores (divisor).

8 (dividendo) : 2 (divisor) = 4 (cociente) y resto 0

8 (dividendo) : 4 (divisor) = 2 (cociente) y resto 0

¿Qué implica realmente esto? Dos cosas. A saber: 

1.       -Cuando el dividendo es múltiplo del divisor, podemos averiguar el factor que nos falta de la multiplicación:

12 : 2 = 6  /  6 x 2 = 12

En este caso, el factor que nos falta es 6, y lo podemos averiguar porque 12  es al mismo tiempo múltiplo de 2 y de 6.

La misma operación la podríamos realizar con los siguientes factores; los cuales, tienen en común que el dividendo (12) es su múltiplo:

12 : 6   /  6 x 2

12 : 4  /  4 x 3

12 : 3   /  3 x 4

2.     -  El otro aspecto importante que debemos entender de las divisiones es que implican una fragmentación o reparto del “producto total”. Es decir, del dividendo.

Veamos un ejemplo:

7 : 3 = 2 con resto 1

En este caso podemos decir que las 7 unidades de un todo las podemos fragmentar en 2 partes agrupadas en 3 unidades y una parte conformada por 1 unidad (el resto).

Es decir:

3 + 3 + 1 = 7

Esto es así siempre y cuando trabajemos con números naturales, pero también cabe la posibilidad de que trabajemos con números decimales; lo cual nos llevaría de nuevo al primer caso:

7 : 3 = 2,5 / 3 x 2,5 = 7

Debemos observar que en ambos casos siempre se repite el mismo patrón en las divisiones; conocemos “el todo (dividendo) y tratamos de averiguar alguna de las partes. Es decir, cuantas veces un número está contenido dentro de otro número.

Historia del pensamiento político griego. Teoría y praxis.

 Una interesante novedad editorial, el libro que han publicado conjuntamente Pedro Barceló y David Hernández de la Fuente en la editorial Trotta: Historia del pensamiento político griego. Teoría y praxis.

Sinopsis:

El objeto de este libro es analizar la génesis y el desarrollo de la teoría y praxis políticas en la Grecia antigua, fragua de los conceptos básicos que han marcado la historia de las ideas políticas a lo largo de los siglos. A través de un planteamiento sistemático y riguroso, se exponen desde la perspectiva histórica los esbozos, tanteos, alternativas y etapas que conducen a la construcción teórica y práctica de la realidad política helena. Se ofrece así un panorama general del pensamiento político griego desde la época arcaica hasta la crisis de la polis clásica. En particular, se analiza detenidamente la fase de su plenitud en el siglo v a.C. hasta su decadencia en la transición al helenismo. La base documental de la obra se asienta primordialmente, junto a otros testimonios históricos, sobre el análisis detallado de las fuentes literarias griegas.